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IBM研究员Craig Gentry最近刚刚找到了一种全同态加密算法。

记加密操作为 E，明文为 m，加密得 e，即 e = E(m)，m = E’(e)。已知针对明文有操作 f，针对 E 可构造 F，使得 F(e) = E(f(m))，这样 E 就是一个针对 f 的同态加密算法。

假设 f 是个很复杂的操作，有了同态加密，我们就可以把加密得到的 e 交给第三方，第三方进行操作 F，我们拿回 F(e) 后，一解密，就得到了 f(m)。第三方替我们干了活，对 m 却仍一无所知，——多么融洽的关系啊。

找到这样的 E 并不容易，单纯从数学角度看，E(x) = x，就是同态的，但是可惜没有加密效果，说了等于白说。RSA 算法对于乘法操作是同态的，对应的操作 F 也是乘法，对别的比如加法就无法构造出对应的 F；而 Paillier 算法则是对加法同态的。如果一种加密算法，对于乘法和加法都能找到对应的操作，就称其为全同态加密算法。目前还没有真正可用的全同态加密算法，虽然 Craig Gentry 已经前进了一大步。

考虑一个匿名投票系统，投票方、计票方、宣布方三权分立，采用公钥加密，只有宣布方拥有私钥。投票方将加密的票送到计票方，计票方利用同态特性进行操作 F，得到汇总的结果，宣布方拿到该结果后解密之，即得总票数。宣布方不知道单独每张票的情况，从而实现了匿名；计票方解不出票面信息，于是可以防止计票方从中作梗。选择对加法同态的加密算法：投谁的票给谁记“1”，不投计“0”；也可选择对乘法同态的算法：投谁的票给谁记“N”，不投计“1”。大致原理如上所述，实现起来还有其它一些难点：1. 赞成/反对票加密出来的结果应该多种多样，以防计票方胡乱推测；2. 能在不解密的情况下对票的有效性进行校验，不能允许一个人一下子投 10000 票。

全同态加密的意义对于允许任意复杂的 f，都能构造出相应的 F。这样，就能得到一些匪夷所思的应用：我能解决你的问题，即使我并不知道你的问题。——这是个不太恰当的比喻。

参考了这里。