From here.

解释1：泰勒级数(Taylor series)/麦克劳林级数(Maclaurin series）

麦克劳林级数是泰勒级数在“展开点是x=0”时的特殊情况。

首先，麦克劳林级数展开后如下：

将自然指数函数带入，且因为存在一个特殊的性质：

所以：

因此得到:

把x换成得到：

利用：

把实部和虚部分开，得到：

同样可以根据麦克劳林级数展开得到，括号里的东西分别是和，因此：

这就是欧拉公式。

解释2：微分方程

假设一个点z以复平面上的原点为圆心、半径为1做逆时针方向的圆周运动，则这个运动可以用以下的微分方程来表达：

注意：圆周运动的本质是运动方向垂直于当前的位置方向，而乘以i，就是把一个复数逆时针旋转90度。因此以上微分方程表达了一个点z以复平面上的原点为圆心、半径为1做逆时针方向的圆周运动。

而这个微分方程的解就是(参考指数函数的特殊性质)：

而z表达的复数就是：

因此：

这就是欧拉公式。